Дроби

Демоверсия ОГЭ‑2027, задание 6. Одна строка, один балл.

На «3» нужно 8 баллов из 31. Задание 6 — самый дешёвый из них.

Ни формул, ни теорем, только арифметика с дробями. Его решают девять из десяти (ОГЭ‑2025, отчёт региона). Десятый делить умеет не хуже — он теряет балл на знаке, запятой или порядке действий.

Знак и запятая — у каждого своя глава, порядок действий — в каждой задаче.

В большинстве случаев тебя будет ждать вот такое задание (из банка ФИПИ).

Строка выглядела безобидно: 5,6 − 13,6 · 0,5. А под ней — три подвоха разом: порядок действий, запятая и минус.

У тебя −1,2. С первого раза.

Можешь сразу проверить себя на экзамене: шесть заданий, порог 5 из 6, подсказок нет, под каждым промахом — разбор.

У тебя ошибочка, но ничего: после урока её больше не будет.

Какая-то из ловушек строки захлопнулась. Какая — покажут главы.

Сработал порядок действий. Вычитание стояло первым и увело за собой: 5,6 − 13,6 = −8, дальше −4. Умножение шло раньше — просто не стояло первым.

Сработал минус. Посчитано всё верно, но 5,6 − 6,8 не может быть больше нуля. Ответ −1,2 — у минуса в бланке своя клетка.

Захлопнулись сразу две ловушки. Вычитание пошло первым: 5,6 − 13,6 = −8, дальше −4. А потом пропал и минус.

Захлопнулись сразу две ловушки: вычитание пошло первым, а запятая в 0,5 выпала — вышло −8 · 5 = −40.

Мысль верная — запись нет. Бланк не читает дробей через черту, пробелов и лишних знаков: цифры, запятая, минус, каждый в своей клетке.

Понадобилась подсказка. На экзамене её не будет — после глав она и не понадобится.

Решение открыто раньше ответа. Для пробы — честно: объяснений ещё не было.

Пропуск — тоже решение.

Урок разберёт все три подвоха, и к последней главе ты будешь замечать их раньше, чем возьмёшь ручку. Последовательность такая: главное правило про дробь → десятичные → минус → общий знаменатель → обыкновенные дроби → бланк.

В демоверсии 2027 дроби или десятичные стоят в 14 заданиях из 25: в лоб — только в шестом, а в 2–5, 8, 10–14, 17, 20 и 21 — внутри, и ошибка в них стоит балла и там.

Дробь — это деление, которое не стали доделывать. — отложено навсегда.

В школе — три кусочка из четырёх. Но дробь — не пара чисел, а одно: три, делённое на четыре.

Кусочки — чтобы объяснить. Дробью считают другое: процент, вероятность, скорость — одно число, делённое на другое.

Две записи, одно число, одна точка на прямой.

Ползунок умножал верх и низ — числитель и знаменатель — на одно и то же, и деление не менялось.

Это главное правило урока: сокращение, общий знаменатель, перевод в десятичную — всё про то же, только со своими особенностями.

• Сокращение — то же правило в обратную сторону. : раздели верх и низ на 2 — . Точка та же.Не видишь, на что делятся оба, — пробуй 2, 3, 5, потом 7 (для 7 признака нет — просто попробуй разделить). На 3 делится то, у чего сумма цифр делится на 3: у 27 это 2 + 7 = 9, у 75 — 7 + 5 = 12.
• Общий знаменатель — оно же: , верх и низ на 25. Как его искать — глава 5.

Десятичная — та же дробь

Десятичная дробь — та же дробь, только знаменатель у неё 10, 100 или 1000, а запятая его прячет. .

И обратно, из обыкновенной в десятичную:

Внизу нужно 10, 100 или 1000 — то, что делится на твой знаменатель. Для 20 это 100, а 100 : 20 = 5 — верх и низ на 5. Для 8 это 1000, а 1000 : 8 = 125 — верх и низ на 125:

Не помнишь, сколько будет 1000 : 8, — доделай деление. 3 : 8 уголком (глава 3) даёт те же 0,375. Дробь и есть это деление, множитель — просто короче.

Правило «верх и низ» в обе стороны: раздели — сократи, умножь — запиши десятичной.

В какой записи считать

Обыкновенная и десятичная — две записи одного числа. Считать можно в любой, но не в двух сразу: либо всё десятичными, либо всё обыкновенными. Как выбрать:

• Все числа десятичные — считай в десятичных.
• Есть хотя бы одна обыкновенная дробь — переводи всё в обыкновенные.

Почему не наоборот: 0,5 превращается в всегда, а в десятичную — никогда: 0,333… и так до конца бланка.

Запятая в умножении и делении не участвует. Только в ответе.

А вот умножение ещё проще. То самое задание из демоверсии, с первой карточки: 5,2 · 3,1.

«Считай как целые» — для умножения и деления, но с запятой в конце по-разному. 52 · 31 — другой пример, в сто раз больше, чем 5,2 · 3,1, поэтому два знака возвращаешь. 234 : 45 — тот же пример, что 23,4 : 4,5, только запятая сдвинута в обоих по правилу «верх и низ», и 5,2 — уже ответ, возвращать нечего.

Складывать и вычитать десятичные — столбиком, запятая под запятой. Знаков после запятой разное число — допиши нули: 17,3 − 4,56 = 17,30 − 4,56 = 12,74.

Минус не весит ничего и стоит балл.

Отрицательное число — шаг в другую сторону по прямой. Умножить или разделить на минус — развернуться.

Отсюда все правила про знаки, и заучивать их не надо: считай развороты.

• Минус на минус — плюс: два разворота — и снова смотришь вперёд. (−4,7) · (−2,3) = +10,81.
• Минус на плюс — минус: один разворот.
• Вычесть отрицательное — прибавить. Два минуса подряд — два разворота, снова вперёд: 16,3 − (−10,81) = 16,3 + 10,81.

• Из меньшего вычесть большее — уйти ниже нуля. Считай наоборот и ставь минус: 5,6 − 6,8 = −(6,8 − 5,6) = −1,2. Так кончилась задача 1.
• Два минуса — плюс только вплотную: −(−…) или (−…) · (−…). В −3 − 5 они не рядом: это не разворот, а два шага вниз. −8.

• Степень — та же история. (−10)³ — это (−10) · (−10) · (−10): три разворота, −1000. (−10)⁴ = 10 000, четыре разворота — чётная степень съедает минус, нечётная оставляет.
• Степень — раньше умножения: в 0,2 · (−10)³ сначала (−10)³ = −1000, потом на 0,2.−300 + 250 — не разворот, а шаги: на 300 вниз, на 250 вверх, −50.

Складывать и вычитать можно только одинаковые куски. в лоб не складывается: половина и пятидесятые — куски разного размера.

Сначала куски делают одинаковыми — режут одно число или оба, — потом складывают. Размер этих кусков и есть общий знаменатель. Листай.

Как найти общий знаменатель

С 2 и 50 было просто: 50 делится на 2, значит, 50 и есть общий.

Когда больший на меньший не делится, общий не виден — его ищут перебором — от одного шага до четырёх. Выбери пару и листай.

Три задачи на саму механику. Складывать пока ничего не надо — только найти знаменатель и множители.

Ответ — три числа через пробел: общий знаменатель, множитель для верха первой дроби, для второй.

Для 14 и 35 это «70 5 2». Низ не вырос — множитель 1.

Любое задание 6 с обыкновенными дробями — четыре хода. Всегда одни и те же, в одном порядке:

1. смешанные числа — в неправильные дроби;
2. действие — сложение, вычитание, умножение или деление; действий несколько — порядок как у целых;
3. сокращение — а при умножении (глава 7) можно сократить ещё до того, как перемножишь;
4. перевод в десятичную.

— верный ответ и ноль баллов. Бланк с ним не спорит: он его не читает.

Сложение и вычитание: одинаковые куски

Смешанные числа: сразу в неправильные

Смешанное число — это плюс, который не стали писать: = .

Минус перед смешанным числом бьёт по обеим — и по целой части, и по дроби: в примере дальше вычитаются и 2, и . Кто вычел двойку, а прибавил, — остался без балла: не заметил плюс, которого не написали.

Поэтому смешанное число сразу превращай в одну дробь.

Единица — это , плюс ещё 11 четырнадцатых: — неправильная дробь, верх больше низа.

Короче: целую часть умножь на низ и прибавь верх.

Умножение: верх на верх, низ на низ

Целое — та же дробь с единицей внизу: .

Умножаешь дробь на целое — оно идёт наверх: (4 и 8 сократились на 4, потом верх и низ на 5).

Деление: переверни вторую

Возьми — сколько половинок в трёх. Шесть, вдвое больше тройки: делить на — то же, что умножать на 2.

С любой дробью так же: делить на — это разделить на 4 и умножить на 35, то есть умножить на .

Из инструкции к экзамену: «Если получилась обыкновенная дробь, запишите ответ в виде равной ей десятичной дроби».

Для бланка ответов № 1 это значит:

• Только цифры, запятая и минус. Без пробелов, единиц измерения и дроби через черту.
• Каждый символ — в свою клетку. Минус и запятая тоже занимают по клетке.
• Десятичная дробь — через запятую: 5,25.
• Ноль перед запятой пишется: 0,48, а не ,48. Ноль внутри — тоже цифра: 2,05, а не 2,5.
• Лишние нули в конце не нужны: 4,5, а не 4,50.

Бланк проверяет программа: она не догадывается, она сравнивает. Так выглядит −1,2 из задачи 1 в клетках бланка:

Шпаргалка. Проносится только в голове

Математика экономит чернила: деление не доделали, скобки не нарисовали, плюс не написали. Не написано — не значит не считается.

Подсказок нет. Второй вариант откроется завтра.

Порог 5 из 6. Четыре из шести — промах в каждом третьем, а задание 6 на экзамене будет одно, и балл за него либо есть, либо нет.

Проверка одна, в конце: заполни все шесть. После неё вариант закрыт: ответы показаны.

Считай на бумаге, как на ОГЭ: там телефон отбирают.